Penjelasan Pangkat, Akar dan Radikal – Pangkat (atau eksponen) sangat berguna dalam matematika. Pangkat adalah cara singkat menulis perkalian yang berulang-ulang pada bilangan yang sama.
Contoh pangkat
410
4 disebut basis, dan 10 merupakan pangkatnya. 410 berarti “kalikan 4 dengan dirinya sendiri sehingga ada 10 buah 4 dalam perkalian.” Karenanya 410 berarti
410 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1048576
Contoh eksponen bilangan bulat
Bagaimana bila kita memiliki pangkat 1, atau 0, atau bahkan -1?
Mari kita buat pola menggunakan contoh 94, sehingga kita dapat melihat kasus khusus ini. Saat kita meneruskan polanya, kita membagi dengan 9 untuk mendapatkan nilai baru
94 = 9 x 9 x 9 x 9
93 = 9 x 9 x 9
92 = 9 x 9
91 = 9
90 = 1
9-1 = 1/9
9-2 = 1/(9 x 9)
9-3 = 1/(9 x 9 x 9)
Perhatikan kasus khususnya,
91 = 9
90 = 1
9-1 = 1/9
Anda bisa kelupaan dan kebingungan kalau melupakan hal ini saat mengerjakan aljabar.
Secara umum, semua bilangan a, (kecuali 0) yang dipangkatkan 1 hasilnya adalah a.
a1 = a
setiap bilangan a, (kecuali 0) yang dipangkatkan -1 adalah 1/a.
a-1 = 1/a
Mengalikan Bilangan Dengan Basis yang Sama
Kita sering harus mengalikan seperti dalam contoh berikut:
29 x 26
Kedua bilangan ini memiliki basis yang sama (yaitu 2) dan bisa kita bayangkan perkaliannya :
29 x 26 = (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2)
Ada 9 buah 2 dalam kurung pertama dan 6 buah 2 dalam kurung kedua, sehingga digabungkan ada 9 + 6 = 15 buah 2 yang dikalikan.
29 x 26 = 29+6 = 215 (Jawabannya 32768)
Secara umum, kita dapat mengatakan untuk sembarang bilangan a dan pangkat m dan n :
am x an = am+n
Membagi bilangan dengan basis yang sama
Sebagai contoh, mari kita bagi 98 dengan 92:
98/92 = (9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9)/(9 x 9)
= 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9
= 96
= 531441
Kita mencoret dua buah 9 dari pembilang dan dua buah 9 dari penyebut, menyisakan 6 buah 9 di pembilang (dan bilangan 1 di penyebut).
Secara umum, untuk setiap bilangan a (kecuali 0) dan pangkat m dan n:
am / an = am-n
Memangkatkan Pangkat
Sebagai contoh, mari kita pangkatkan bilangan 53 dengan pangkat 9:
(53)9 = 53 x 53 x 53 x 53 x 53 x 53 x 53 x 53 x 53
Dari contoh perkalian di atas, kita bisa melihat kalau ini akan memberi kita 527. Kita bisa melakukannya dengan
(53)9 = 53×9 = 527
Secara umum, untuk sebarang basis a dan pangkat m dan n:
(am)n = amn
Memangkatkan perkalian
Contoh
(4 x 3)3 = 43 x 33
Dalam kasus ini, dengan bilangan, akan lebih baik melakukan perkalian dalam kurung lebih dahulu baru dipangkatkan 3. Namun bila memakai huruf dalam aljabar, kita tidak dapat melakukan hal yang sama dan kita perlu tahu bagaimana menyederhanakannya.
Secara umum:
(ab)n= anbn
Memangkatkan pembagian
Contoh
(1/9)2 = (12)/(92)
Secara umum:
(a/b)n = (an)/(bn)
Rangkuman hukum pangkat
CATATAN: Tidak ada rumus untuk soal seperti am+ an = …
Hal ini karena kitahanya dapat menambah atau mengurangi suku yang sama (yang memiliki bagian huruf yang sama). Sebagai contoh, kalau seperti ini boleh:
3a3 + 4a3 = 7a3,
Karena kita menambahkan bagian koefisien yang memiliki huruf berpangkat yang sama.
Namun kita tidak dapat melakukan apa-apa pada persamaan berikut:
2a9 + 2a5
Karena pangkatnya berbeda.
Akar dan Radikal
Inilah yang dimaksud tanda radikal :
Ia berarti akar kuadrat. Akar kuadrat sebenarnya sebuah pangkat pecahan dan sama dengan memangkatkan bilangan dengan ½.
Jadi, sebagai contoh:
Juga ada yang namanya akar kubik yang sama dengan pangkat 1/3
Akar pangkat empat, berarti pangkat 1/4
Dan seterusnya
Jika a bilangan positif dan b juga bilangan positif, maka
Namun, ini hanya berlaku untuk perkalian. Ingat kalau:
(coba cek dengan bilangan positif menggunakan kalkulator).
Selain itu, ini juga sering ditemukan dalam matematika:
Ini kadang membingungkan. Namun ini hanya bermakna:
1. Mulai dengan sebuah bilangan
2. Kuadratkan
3. Cari akarnya
4. Hasilnya bilangan yang awal tadi
Sebagai contoh kita bisa mulai dengan 9.
Kuadratkan, kita dapatkan 81.
Akarkan kita dapatkan 9 kembali, yang merupakan bilangan awal kita.
Kenapa hal ini penting? Sering kali kita harus memeriksa jawaban saat memecahkan soal, sehingga harus mencari akar kedua sisi persamaan. Dengan cara ini kita bisa memeriksa pekerjaan kita.