Hello Kawan Mastah! Apakah kamu sedang belajar tentang matriks dan ingin tahu cara mengalikannya? Jangan khawatir, karena dalam artikel ini kamu akan mempelajari cara mengalikan matriks dengan mudah dan lengkap. Yuk, simak artikel ini sampai selesai!
Pengertian Matriks
Sebelum kita membahas cara mengalikan matriks, pertama-tama kita harus memahami terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan matriks. Secara umum, matriks dapat didefinisikan sebagai kumpulan angka yang tersusun dalam bentuk tabel berupa baris dan kolom.
Misalnya, jika kita memiliki matriks A dengan ukuran 2×3, maka matriks tersebut terdiri dari 2 baris dan 3 kolom seperti berikut:
2 |
3 |
1 |
4 |
6 |
Dalam matriks, angka-angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai variabel-variabel dan digunakan untuk melakukan operasi matematika tertentu, salah satunya adalah perkalian matriks.
Frequently Asked Questions:
Q: Apa itu matriks identitas?
A: Matriks identitas adalah matriks persegi yang memiliki angka 1 di sepanjang diagonal utamanya dan angka 0 di seluruh elemen lainnya. Contohnya adalah matriks identitas 3×3 seperti berikut:
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Q: Apa yang dimaksud dengan matriks invers?
A: Matriks invers adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks asalnya, akan menghasilkan matriks identitas. Namun, tidak semua matriks memiliki invers.
Cara Mengalikan Matriks
Untuk mengalikan dua matriks, pertama-tama kita harus memastikan bahwa jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Jika jumlah kolom matriks pertama berbeda dengan jumlah baris matriks kedua, maka operasi perkalian matriks tidak dapat dilakukan.
Misalnya, jika kita memiliki matriks A dengan ukuran 2×3 dan matriks B dengan ukuran 3×2, maka kita dapat mengalikannya karena jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B, seperti berikut:
2 |
3 |
1 |
4 |
6 |
x
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Untuk mengalikan kedua matriks tersebut, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Mengalikan baris pertama matriks A dengan kolom pertama matriks B
Hasil dari operasi tersebut adalah:
| 2×1 + 3×3 + 1×5 | 2×2 + 3×4 + 1×6 |
Yang dapat disederhanakan menjadi:
| 17 | 20 |
2. Mengalikan baris pertama matriks A dengan kolom kedua matriks B
Hasil dari operasi tersebut adalah:
| 2×2 + 3×4 + 1×6 | 2×2 + 3×4 + 1×6 |
Yang dapat disederhanakan menjadi:
| 32 | 38 |
3. Mengalikan baris kedua matriks A dengan kolom pertama matriks B
Hasil dari operasi tersebut adalah:
| 4×1 + 5×3 + 6×5 | 4×2 + 5×4 + 6×6 |
Yang dapat disederhanakan menjadi:
| 56 | 68 |
4. Mengalikan baris kedua matriks A dengan kolom kedua matriks B
Hasil dari operasi tersebut adalah:
| 4×2 + 5×4 + 6×6 | 4×2 + 5×4 + 6×6 |
Yang dapat disederhanakan menjadi:
| 83 | 100 |
Maka hasil dari perkalian kedua matriks tersebut adalah:
17 |
20 |
32 |
38 |
56 |
68 |
83 |
100 |
Frequently Asked Questions:
Q: Apakah hasil perkalian matriks selalu berupa matriks?
A: Tidak selalu. Jika kita mengalikan matriks A dengan matriks B dan hasilnya adalah sebuah angka, maka hasil tersebut bukanlah sebuah matriks.
Q: Apa yang terjadi jika kita mengalikan dua matriks yang tidak memenuhi syarat jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua?
A: Operasi perkalian matriks tidak dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama berbeda dengan jumlah baris matriks kedua.
Cara Menghitung Invers Matriks
Selain mengalikan matriks, terkadang kita juga perlu menghitung invers matriks. Untuk menghitung invers matriks A, pertama-tama kita harus memastikan bahwa determinan dari matriks A tidak sama dengan 0. Jika determinan dari matriks A sama dengan 0, maka matriks A tidak memiliki invers.
Langkah-langkah untuk menghitung invers matriks A adalah sebagai berikut:
1. Membuat matriks tambahan
Matriks tambahan dapat dibuat dengan mengubah semua elemen matriks A menjadi koefisien kofaktor dan mengganti tanda dari beberapa elemen tersebut. Misalnya, jika kita memiliki matriks A sebagai berikut:
2 |
3 |
1 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Maka kita dapat menghitung matriks tambahan dengan langkah-langkah berikut:
1a. Menghitung koefisien kofaktor
Koefisien kofaktor didefinisikan sebagai determinan dari matriks minor. Untuk menghitung koefisien kofaktor, kita harus mengambil matriks minor dengan menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks awal, lalu menghitung determinan dari matriks minor tersebut. Berikut adalah contoh penghitungan koefisien kofaktor untuk elemen pertama matriks A:
Matriks minor:
5 |
6 |
8 |
9 |
Determinan dari matriks minor tersebut adalah:
| 5×9 – 6×8 |
Yang dapat disederhanakan menjadi:
| -3 |
Untuk elemen kedua dan ketiga matriks A, kita dapat menghitung koefisien kofaktornya dengan cara yang sama. Sehingga kita akan mendapatkan matriks koefisien kofaktor sebagai berikut:
-3 |
6 |
-3 |
6 |
-12 |
6 |
-3 |
6 |
-3 |
1b. Mengubah tanda dari beberapa elemen matriks koefisien kofaktor
Untuk membuat matriks tambahan, kita harus mengubah tanda dari beberapa elemen matriks koefisien kofaktor. Untuk elemen yang berada di posisi ganjil (baris ganjil dan kolom ganjil), kita tidak perlu mengubah tanda dari elemen tersebut. Namun, untuk elemen yang berada di posisi genap (baris genap dan kolom genap), kita harus mengubah tanda dari elemen tersebut.
Sehingga matriks tambahan dari matriks A adalah sebagai berikut:
-3 |
6 |
-3 |
-6 |
12 |
-6 |
3 |
-6 |
3 |
2. Menghitung determinan dari matriks A
Untuk menghitung determinan dari matriks A, kita dapat menggunakan salah satu metode yang tersedia, misalnya metode ekspansi kofaktor atau metode reduksi baris. Jika kita menggunakan metode ekspansi kofaktor, maka kita akan memperoleh determinan matriks A sebagai berikut:
2 |
3 |
1 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
= 2(5×9 – 6×8) – 3(4×9 – 6×7) + 1(4×8 – 5×7)
= 0
3. Menghitung matriks invers A
Jika determinan dari matriks A tidak sama dengan 0, maka matriks A memiliki invers yang dapat dihitung dengan menggunakan matriks tambahan dan determinan dari matriks A, seperti berikut:
A-1 = (1/det(A)) x adj(A)
Dimana det(A) adalah determinan dari matriks A dan adj(A) adalah matriks adjoint dari matriks A, yang diperoleh dengan menukar baris dan kolom dari matriks tambahan. Sehingga untuk matriks A dari contoh di atas, kita dapat menghitung matriks inversnya sebagai berikut:
A-1 = (1/0) x
-3 |
-6 |
3 |
6 |
12 |
-6 |
-3 |
-6 |
3 |
Karena determinan dari matriks A adalah 0, maka matriks A tidak memiliki invers.
Frequently Asked Questions:
Q: Apakah setiap matriks memiliki invers?
A: Tidak setiap matriks memiliki invers. Untuk memiliki invers, determinan dari matriks tersebut harus tidak sama dengan 0.
Q: Apakah matriks identitas selalu memiliki invers?
A: Ya, matriks identitas selalu memiliki invers, yaitu matriks identitas itu sendiri.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah mempelajari cara mengalikan matriks dengan mudah dan lengkap. Kita juga telah mempelajari cara menghitung invers matriks, serta syarat dan ketentuan untuk memiliki invers matriks. Semoga artikel ini bermanfaat bagi Kawan Mastah yang sedang belajar tentang matriks dan operasi-operasi matematika lainnya.